تصاعد

 

تصاعد حسابي (عددي)

هر گاه در دنباله اي از اعداد، با اضافه كردن مقدار ثابتي به هر جمله، جمله بعدي ايجاد شود. به آن دنباله تصاعد حسابي گفته مي شود. براي مثال به دنباله عددي زير توجه كنيد:

 

در اين جا عدد 1 جمله اول دنباله است كه با اضافه كردن مقدار ثابت 4 به آن، جمله دوم دنباله يعني عدد 5 بدست آمده است. به همين ترتيب جمله هاي بعدي دنباله نيز ساخته شده اند. به اين دنباله يك تصاعد حسابي و به مقدار ثابت 4 قدر نسبت تصاعد گفته مي شود.

در حالت كلي:

اگر t₁ و t₂ دو جمله متوالي يك تصاعد حسابي باشند قدر نسبت اين تصاعد حسابي از رابطه زير بدست مي آيد.

 

پس خواهيم داشت:     

             

هر گاه قدر نسبت بزرگتر از صفر باشد يعني ، آنگاه تصاعد حسابي صعودي است و هر گاه قدر نسبت كوچكتر از صفر باشد يعني ، آنگاه تصاعد حسابي نزولي است.

مثال: تصاعد حسابي زير را در نظر بگيريد:

 

در اين تصاعد قدر نسبت عدد 2 است، زيرا با اضافه كردن اين عدد به هر جمله، جمله بعدي تصاعد بدست مي آيد.

اين تصاعد صعودي است چون قدر نسبت مثبت است.

حال اگر بخواهيم يك تصاعد حسابي را بنويسيم بايد مقدار قدر نسبت و جمله اول تصاعد را داشته باشيم.

اگر جمله اول يك تصاعد را t₁ و قدر نسبت آنرا d بناميم، جمله هاي اين تصاعد به صورت زير خواهند بود:

t₁ , t₁+d , t₁+2d , t₁+3d , …… , t₁+(n-1)d

 

بنابراين جمله n ام يا جمله عمومي اين تصاعد چنين است:

 

با استفاده از اين فرمول و با داشتن t₁ و d مي توان هر جمله از تصاعد را نوشت

مثال)

در يك تصاعد حسابي جمله اول 4 و قدر نسبت 3 مي باشد جمله هفتم را بيابيد:

t_n=  t₁+(n-1)d ‌

t_n=  4+(1-7)3

t_n = 4+ (6)(3)

t_n = 4+18

t_n=  22

تمرين

1- كدام يك از دنباله هاي زير تصاعد عددي تشكيل مي دهند؟ قدر نسبت تصاعدهاي عددي را حساب كنيد.

...و6 و4و2 (الف

... و 5 و7و10 (ب

...و 13 و 9 و 5 (ج

... و 23و 17 و11 (د

2- عدد p را چنان تعيين كنيد كه اعداد زير سه جمله متوالي يك تصاعد عددي باشند:

5 + p و 3 + p4 و 2 - p8

3- جمله اول يك تصاعد عددي 3 و قدر نسبت آن 11 مي باشد جمله چندم آن 91 است؟

پاسخ تمرين 1

الف) تصاعد حسابي تشكيل مي دهد قدر نسبت آن به صورت زير به دست مي آيد:

2=2-4=d

ج) تصاعد حسابي تشكيل مي دهد قدر نسبت آن به صورت زير بدست مي آيد:

4=5-9

د) تصاعد حسابي تشكيل مي دهد قدر نسبت آن به صورت زير بدست مي آيد:

6=11-17

پاسخ تمرين 2

اين سه جمله متوالي وقتي تشكيل تصاعد عددي مي دهند كه داشته باشيم:

(2-p 8)-3 + p4= (3+ p4)- 5 +p

2+p 8 - 3 + p4= 3- p4- 5 + p

5+ p4- =2+ p3-

2-5 = p4+ p3-

3 = p

پاسخ تمرين 3

با توجه به جمله عمومي خواهيم داشت:

t_n = t₁ + (n-1)d‌

11 (n-1) + 3 =91

11- n11+3 =91

8- n11=91

n11= 8 +91

n11=99

 9 = n ‌